REBELDE

Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errónea es mejor que no pensar...

Celebración Día del Alumno

Hola chamacos y chamacas de Iquique en su día hemos querido dejarles un recuerdo, en especial a esos alumnos del "little college" y que estudien harto!!!

Un Beso, un abrazo, los llevamos en el corazón.

RBD

El Concierto...

RBD con sus fans

Por que no entendemos matematica

Por que no entendemos Matemática

Una de las cuestiones que preocupaba mucho a Edsger Dijkstra era la didáctica de la matemática (y de la computación, como parte de esta). En este breve artículo, nos da lo que podría ser la "punta del ovillo" en búsqueda del por qué las matemáticas superiores (y, a veces, las no tan superiores) nos resultan tán difíciles de comprender y dominar.

Por que Juanito no puede entender

Hace unos años escuché una disertación sobre la estructura de las pruebas. Sin vacilar, el disertante se volvió muy gráfico y las pruebas se convirtieron en grafos dirigidos con flechas de los antecedentes a los consecuentes. [Mathematics Inc. hubiera comercializado el producto por aquellos días como Entendimiento Asistido por Computadoras Mediante Animación de Argumentos.] Luego de quince minutos el orador dirigió nuestra atención hacia el hecho de que algunas pruebas eran planas, en tanto que otras no lo eran. Luego, mostró cómo transformaciones simples de las pruebas en otras lógicamente equivalentes podían cambiar su "planaridad"; pero en vez de concluir que, por lo tanto, la planaridad de las pruebas no era probablemente un concepto relevante, se embarcó en un estudio de los argumentos intrínsecamente no-planos, etc.
Fue la disertación más absurda que he oído en años. (Por eso aún la recuerdo.) El pobre tipo era una grave víctima de su educación: confundía el grafo dirigido, como un subconjunto de los pares ordenados, con la representación gráfica de flechas entre puntos. [Si hubiera sido instruido sobre las matrices de incidencia, podría haber disertado sobre los eigenvalores de las pruebas.]
Esto es lo que nos sucede una y otra vez. Cuando se nos introduce un nuevo concepto se nos dan varios ejemplos de un contexto esperanzadoramente familiar, o se nos dan uno o dos modelos en los cuales el nuevo formalismo, sus objetos y sus operaciones pueden ser "entendidos". Y realmente se nos alienta a realizar esas interpretaciones para convencernos a nosotros mismos de que el nuevo formalismo "tiene sentido". Fallan, sin embargo, en advertirnos de que tales interpretaciones tienden a ser engañosas porque los modelos son sobreespecíficos; en que tales hábitos de entendimiento son totalmente desconcertantes cuando las visualizaciones que los acompañan desorientan a la imaginación y que la carga mental de moverse hacia y desde la fórmula y su interpretación, debe mejor evitarse. De hecho, uno solo puede esperar que, al aumentar la familiaridad con el formalismo, el modelo tranquilamente se esfume de nuestra conciencia.
Esto ya había comenzado cuando se nos enseñaron los números naturales. No aprendimos que 2 + 3 = 5, primero aprendimos -¡gráficamente!- que dos manzanas y tres manzanas son cinco manzanas, y luego para peras, para plumas, para gatos, árboles y elefantes. El modelo de la manzana es penosamente inadecuado, dado que, para dar lugar al producto, la manzana tiene que ser elevada al cuadrado, y por consiguiente -y afortunadamente- se desvanece; pero no antes de haber creado un obstáculo para los enteros negativos. Se puede argumentar que seguimos pagando el precio, esto es, si consideramos la invisibilidad del cero en el modelo de la manzana como la responsable de todas las complicaciones matemáticas causadas por considerar el 1 como el menor número natural. (En comparación con los griegos hemos sido afortunados: con sus segmentos de línea pudieron multiplicar muy poco, desafortunadamente lo suficiente como para no tirar su modelo. Y eventualmente la matemática griega murió por su pobreza conceptual y complejidad gráfica: una lección para todos nosotros.)
Dudo seriamente que el desvío a través del modelo de la manzana sea esencial para enseñar los enteros a niños pequeños, pero aún en tal caso, no veo la razón por la cual un proceso de aprendizaje que pueda ser apropiado para niños pequeños deba serlo también para la mente adulta. Y esta parece ser la asunción sobre la cual operan la mayoría de los escritores y muchos de los lectores adultos. Mi -triste- conclusión es que los patrones más difundidos de entendimiento no han sido seleccionados concienzudamente por su efectividad y pueden ser mejor descriptos como hábitos adictivos, muchos de los cuales merecen una advertencia de cirugía general.
Mi observación más común es ver gente que se siente más confortable con el específico innecesario. Cuando son confrontados a un conjunto parcialmente ordenado, piensan mentalmente "por ejemplo, los enteros". Mientras yo fui entrenado para evitar los ejemplos al leer un texto -dado que pueden ser superfluos y, en cualquier caso, distraen-, veo gente que se siente más incómoda fuando se enfrentan a un texto sin ejemplos. Gente que tiene dificultad en entender una construcción que contiene un parámetro natural k me ha asegurado que dicha parametrización presenta un obstáculo adicional que podrían remover sustituyendo inicialmente k por un valor pequeño, digamos 3. No tengo motivos para dudar de su palabra; el extraño fenómeno probablemente estaba conectado al hecho de que k no ocurría en un contexto muy aritmético, sino como la longitud de cadenas o la cantidad de arcos que confluyen en un vértice (contextos en los cuales están habituados a manejarse en términos de gráficos). De la misma forma una permutación "arbitraria" creó problemas similares: hubieran preferido una específica, posiblemente seguida de un comentario al final que indicara que la elección de la permutación no importaba realmente. Es muy extraño, hasta desconcertante, ver a gente perturbada cuando se dejan abiertas preguntas cuyas respuestas son irrelevantes.
Una observación final me sugiere que, de hecho, es culpa del sistema educativo. Recuerdo muy bien la introducción de la idea de que es tarea del profesor el motivar a sus estudiantes. (La recuerdo muy bien porque pensé que la idea era muy absurda.) Ahora encuentro jóvenes científicos educados bajo el régimen motivador, que tienen una desventaja notable: su habilidad para absorber información no motivada está limitada a unas 10 líneas. El objeto y su propósito son cosas diferentes, pero ellos no aprendieron a distinguirlo y ahora son incapaces de separar estos asuntos. Es un ejemplo atemorizador de cómo la educación puede infundir necesidades psicológicas que se vuelven una importante desventaja.

Año Académico 2007

Semana Vocacional

Durante la última semana de agosto del año en curso, se realizó la semana vocacional en el Little College.Vimos varias muestras por parte de los chicos de los tec. profesionales, tanto párvulo como ventas.En mi opinión fue bastante buena (espero que si), pues el trabajo que alli se vió reflejado por parte de los alumnos y profesores fue demasiado.

De muestra un botón...aquí van unas fotos de lo realizado. Fijense en algunas caras...(jejeje)
Hasta pronto.

Semana Vocacional

Durante la última semana de agosto del año en curso, se realizó la semana vocacional en el Little College. Vimos varias muestras y charlas por parte de los chicos y los profesionales involucrados de los tec. profesionales, tanto párvulo como ventas. En mi opinión fue bastante buena (espero que si), pues el trabajo que alli se vió reflejado por parte de los alumnos y profesores fue demasiado.

De muestra un botón...aquí van unas fotos de lo realizado.Fijense en algunas caras...(jejeje)

Hasta pronto.

Ingeniero Electrónico. Profesor de enseñanza Media Matemática.

Licenciado en Educación

AÑO ACADEMICO 2007

Sólo la practica constante nos conduce por nuestro camino hacia el exito

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Objetivos Fundamentales 1º medio

1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados

al estudio de la proporcionalidad, del lenguaje algebraico

inicial y de la congruencia de figuras planas.
2. Analizar aspectos cuantitativos y relaciones geométricas

presentes en la vida cotidiana y en el mundo de las ciencias;

describir y analizar situaciones con precisión.
3. Utilizar diferentes tipos de números en diversas formas de

expresión (entera, decimal, fraccionaria, porcentual) para

cuantificar situaciones y resolver problemas.
4. Resolver problemas seleccionando secuencias adecuadas

de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una

sistematización del método ensayo-error; analizar la pertinencia

de los datos y soluciones.
5. Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente.
6. Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas; analizar invariantes relativas a desplazamientos y cambios de ubicación utilizando el dibujo geométrico.

Objetivos Fundamentales 2º medio

1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio

de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales,

semejanza de figuras planas y nociones de probabilidad;

iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos

matemáticos.

2. Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las

probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las

diferencias entre los fenómenos aleatorios y los deterministas.

3. Explorar sistemáticamente diversas estrategias para la

resolución de problemas; profundizar y relacionar contenidos

matemáticos

4. Percibir la relación de la matemática con otros ámbitos del

saber.

5. Analizar invariantes relativas a cambios de ubicación y ampliación o reducción a escala, utilizando el dibujo geométrico.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES 3º medio.

Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad

de:

1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al

estudio de los sistemas de inecuaciones, de la función cuadrática, de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo y de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas.

2. Analizar información cuantitativa presente en los medios de

comunicación y establecer relaciones entre estadística y probabilidades.

3. Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de

problemas y el análisis de situaciones concretas.

4. Resolver desafíos con grado de dificultad creciente,

valorando sus propias capacidades.

5. Percibir la matemática como una disciplina que recoge y

busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros

ámbitos.

OBJETIVOS FUNDAMENTALES 4º medio

Los alumnos y las alumnas desarrollarán la capacidad de:

1. Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de rectas

y planos en el espacio, de volúmenes generados por rotaciones o

traslaciones de figuras planas; visualizar y representar objetos del espacio

tridimensional.

2. Analizar informaciones de tipo estadístico presente en los medios de

comunicación; percibir las dicotomías, determinista-aleatorio,

finito-infinito, discreto-continuo.

3. Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis

de situaciones y a la resolución de problemas.

4. Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de

problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda de

formas de resolución.

5. Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que

continua desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver

problemas prácticos, pero también planteándose problemas propios, a

menudo por el sólo placer intelectual o estético.

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CONTENIDOS Y MATERIAS

1º MEDIO

APROXIMACIONES

2º MEDIO

FRACCIONES ALGEBRAICAS

­­­­­­­­­­­­3º MEDIO

ECUACION DE 2º GRADO

Raíz cuadrada en pdf

3º medio plan diferenciado

Propiedades numericas

4º MEDIO

FUNCIONES (FUNC. EXPONENCIAL)

4º MEDIO plan diferenciado

Procesos de iteracion numerica

SUPERIOR

http://www.youtube.com/watch?v=CmMe4_P8veg

CLASE DE INTEGRAL DEFINIDA

OTROS

Clase de apoyo a la matematica

Visiten tambien dos sitios interesantes de fisica:

http://simonlopeza.blogspot.com/

http://www.sectorfisica.cl/

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El postulado de Bertrand

No es la primera vez que visitamos desde este blog a los números primos. Es extraña la fascinación que ejercen sobre una mente medianamente inquieta. Tras una definición aparentemente anodina (un número primo es aquel que sólo puede dividirse por sí mismo y por la unidad, dando un resultado entero por tal división) se esconden innumerables sorpresas. Para empezar, el tamaño del conjunto de los números primos, que demostramos en su día por cinco procedimientos diferentes que era infinito. Si bien tras cinco demostraciones a nadie puede quedar duda alguna de la infinitud de los números primos, aún nos quedan muchas incógnitas sobre los mismos. Para empezar, cada vez parecen ser menos comunes: tras un inicio en el que casi todos los impares son primos (1,3,5,7), enseguida empiezan a escasear. No obstante, seguiremos encontrando primos gemelos (impares consecutivos, ambos primos) en todo el conjunto N. Una forma de ver que cada vez escasean más los primos, según avanzamos en el conjunto N es demostrar que siempre podremos encontrar un conjunto de números naturales consecutivos tan grande como queramos de manera que ninguno sea primo, si buscamos hacia números suficientemente grandes. Este es un resultado muy conocido desde antiguo, que nos servirá de punto de partida para demostrar algo aún más profundo: el postulado de Bretrand, pero no adelantemos acontecimientos. De momento demostraremos que: Dado un número entero k, podemos encontrar una ristra de k números enteros consecutivos de forma que ninguno de ellos sea primo. Este es un resultado realmente potente: afirma que existen diez mil, doscientos mil millones, o mil quintillones de enteros seguidos en alguna parte de N sin contener ni un solo número primo. Todo ello manteniendo la afirmación de que el número de primos es infinito, a pesar de lo ralos que se van haciendo según avanzamos hacia números cada vez más grandes. Demostrémolso. Sea k un número entero cualquiera. Sea Pk el conjunto de todos los primos menores que (k+2). Sea N el producto de todos los elementos de Pk. N= 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · ... · p ; donde p es el mayor primo que es más pequeño que (k+2). Es evidente que N es divisible por 2, por 3, por 5,... y por todos los primos menores que (k+2) por propia construcción. Ahora bien, N+2 es divisible por 2, pues N y 2 lo son. N+3 es divisible por 3, pues N y 3 lo son. N+4 es divisible por 2, pues N y 4 lo son... Podemos repetir el razonamiento para todo número del conjunto {N+2,N+3,...,N+k, N+(k+1)} Para cualquiera de estos números (para N+i, con i ε {2,3,...,(k+1)) podemos decir que ninguno de ellos es primo porque i es un factor primo de N menor que (k+1), y por lo tanto divide necesariamente a N, y por supuesto divide trivialmente a i, por lo que debe dividir necesariamente a N+i. Así pues, hemos encontrado una ristra de k números enteros consecutivos (la ristra que comienza en N+2 y llega hasta N+(k-1) tiene exactamente k números) de manera que ninguno de ellos es primo. Como no hemos hecho ninguna suposición sobre la naturaleza de k, concluiremos que podemos encontrar una ristra de enteros consecutivos dentro de N tan larga como queramos. De esta forma, vemos que no existe límite alguno para el tamaño de los "agujeros" del conjunto de primos dentro de N. Pero dando un paso más, podemos seguir preguntándonos cosas: ¿existe algún límite para el valor máximo del "agujero" de números no primos posible si empezamos a investigar a partir de un número fijo? La pregunta no es inocente: para encontrar un "agujero" de k números no primos, nos hemos tenido que desplazar hasta números muy grandes: hemos tenido que efectuar el producto de todos los primos menores que (k+2); número enorme si k es grande. Y si hubiéramos empezado a buscar "agujeros" de no primos a partir de un valor más pequeño, ¿existe algún límite para el tamaño del conjunto de enteros consecutivos no primos? Responder a esta pregunta nos llevará al Postulado de Bertrand, pero no será un paseo fácil.

Un libro especial para un lugar especial.

Hay muchos tipos de libros, pero como recordaba Carl Sagan, una vida humana es excesivamente corta para leer una fracción infinitesimal de lo que se publica y hay que elegir. La primera clasificación, obvia donde las haya, es la que separa lo publicado en dos bloques: lo que me interesa y lo que no me interesa. Así no hacemos juicios de valor sobre las obras.
Dentro de lo que me interesa, una separación muy personal pero clara es la siguiente: lo que es accesible para mí y lo que no lo es. Aquí entramos en un terreno muy personal en el que la disponibilidad de tiempo, mi propia preparación, mis prioridades y mi economía tienen mucho que decir. Escojamos pues lo que me interesa y es accesible para mí.
En este clado existen libros que puedo leer en cualquier lugar y libros para los que necesito una cierta parafernalia exterior: hay libros que sólo puedo leer bajo un flexo, envuelto en humo de tabaco y en silencio absoluto e incluso con papel y lápiz cerca para tomar notas; otros son lecturas de verano en tumbona bajo una sombrilla (nunca a pleno sol, por favor).
En este punto la clave de clasificación personal de libros que les muestro, deja de ser dicotómica y se vuelve multivariante. Tengo libros de escritorio, libros para leer en la cama, libros de tumbona, de taberna y de transporte público. Pero quisiera hablar de un tipo de libros que tengo reservado para uno de mis lugares preferidos; el sancta sanctorum del lector: el cuarto de baño.
En mi taxonomía libresca privada clasificar un libro como libro de cuarto de baño es decir mucho sobre el ejemplar en cuestión, y todo bueno: debe ser un libro ágil; de capítulos cortos para poder leer uno entero en el tiempo racional que uno pasa en dicho lugar; debe ser interesante y debe no encajar exactamente en ninguna de las clasificaciones anteriores. Este último punto es importante, porque estoy muy influído por mis lecturas de biología y siempre me ha fascinado la taxonomía y en particular el esfuerzo humano por clasificar la diversidad biosférica en clados anidados, de manera que un clado nunca pertenezca sino a uno y sólo uno de los clados superiores. Así pues, no son para mí libros para leer en ningún otro lugar; y por lo tanto a pesar de lo aparentemente escatológico del asunto este taxón es de absoluta excelencia en lo que a mi respecta. Pocos libros merecen tal categoría.
Así pues, hablemos de los libros para leer en el cuarto de baño. Libros para aprovechar, saborear y disfrutan en cortos espacios de tiempo. Libros cuyos capítulos son joyas que merecen el reposo y la soledad de estos momentos íntimos e intransferibles.
Mi libro actual en estas circunstancias es " Ideas para la imaginación impura ", 53 reflexiones en su propia substancia, de Jorge Wagensberg.
El autor nació en Barcelona en 1948, es licenciado y doctor en Física por la Universidad de Barcelona y profesor de Teoría de los Procesos Irreversibles en la Facultad de Física de dicha universidad, donde dirige un grupo de investigación en biofísica. Es autor de múltiples trabajos científicos aparecidos en publicaciones especializadas internacionales y de una extensa obra de difusión científica hacia otros dominios de la cultura. En 1980 publicó el libro Nosotros y la ciencia (Bosch Editor) y en 1985 Ideas sobre la complejidad del mundo (Tusquets Editores). En 1983 crea la colección de pensamiento científico «Metatemas», también de Tusquets, y desde el año 1991 es director del Museo de la Ciencia de la Fundación ‘la Caixa’.
Tras este cúmulo de avales uno no toma este librito sin esperar algo de mucho interés; de forma que la exigencia a priori es alta. Cincuenta y tres reflexiones en 276 páginas hacen que cada reflexión sea muy cortita en extensión y muy fácil de leer, pero cada una de ellas está llena de bellas implicaciones y reflexiones profundas que se pueden aborar a posteriori. En ellas se muestra al científico como un ser ávido de reflexión y buscador impenitente de fuentes de inspiración en cualquier acontecimiento diario apartentemente trivial.
Un libro en suma excepcional por su interés, digno de un autor que ha demostrado largamente su potencia de divulgador a la vez que su talla de científico, un autor que tituló a otra de sus obras con uno de los títulos más sorprendentes y maravillosos que haya visto nunca; con una frase digna del mejor koan zen: "Si la naturaleza es la respuesta, ¿cuál era la pregunta?" (Colección Metatemas, nº 75; Tusquets editores).
FICHA DEL LIBRO:
TITULO:"Ideas para la imaginación impura, 53 reflexiones en su propio jugo"
AUTOR: Jorge Wagensberg
COLECCIÓN METATEMAS
EDITORIAL: Tusquets Editores

El zoo de las bases de numeración

Una vez más, nuestro colaborador Jorge Alonso nos proporciona un artículo lleno de interés. En este caso se trata de sistemas de numeración; una extrapolación a lo inhabitual llena de sentido y coherecia. Les dejo con él: que lo disfruten.

Imaginemos que existe un zoo en los que podemos contemplar los sistemas posicionales de bases de numeración. Demos un paseo por él.

Nada más empezar están los especímenes más conocidos, la base decimal, la binaria y la hexadecimal:

A continuación, están los sistemas basados en una base negativa, gracias a lo cual se pueden representar los números enteros sin tener que indicar su signo. Veamos la base -2:

Observemos cómo los enteros negativos tienen un número par de dígitos, y los enteros positivos un número impar.
Seguimos, y nos encontramos con bases que no son números enteros.
Para comenzar tenemos la base racional 1/10, en la que para convertirla a decimal basta con invertir los dígitos:

Le sigue la base irracional (10)^1/2 , en la que los números son los mismos que en base 10, pero añadiéndoles ceros entre sus dígitos:

Lo siguiente son bases cuyos dígitos no son exclusivamente números enteros, pudiendo tener dígitos que representen números racionales, irracionales, complejos...
Llegamos al final de nuestro paseo y, llevando la vista atrás, sólo nos queda recordar que todos estos sistemas pueden mezclarse entre sí...

RANCAGUA

En Rancagua conocimos el Cerro (cerrito) San Juan. En la foto Aparece mi padre preparando el asado.

Como sabrán, Rancagua y toda la sexta región tiene un gran movimiento de tipo minero. Destacan en Rancagua la minera El Teniente.Las próximas fotos pretenden acercarse a las mineras y a la maravillosa naturaleza de la periferia de Rancagua... francamente hermosa.